Conde Bond Post

Sólo existe un tipo de conocimiento, aquel que se transmite.

Un cop de mà en matemàtiques a pares i mares de primer d’eso (I)


Encara que s’aparta un xic del que acostumo a escriure, aquesta entrada tracta de donar un cop de mà en matemàtiques a aquells p/mares que de sobte, es troben amb la necessitat d’explicar allò que fa molts anys varen estudiar (i que possiblement han oblidat) als seus fills/es que comencen l’eso. I es troben amb el problema de resoldre i explicar un problema…

El problema en qüestió ens diu que: la Carla i la Mercè viuen a la mateixa casa i van a la mateixa escola caminant. La Carla triga 40 minuts i la Mercè en triga 60. Si la Mercè surt 10 minuts abans que la Carla, quan es trobaran les dues?

Per resoldre un problema hem d’entendre l’enunciat i què ens estan demanant que resolguem.

Sovint, no acabem de veure, què és el que ens estan demanant… Així que no ens estressem i fem servir el que a algun/es de nosaltres ens deien quan érem petits/tes, el conte de la vella…

Què diu realmente l’enunciat?

Si la Carla triga 40 minuts en arribar al escola, i la Mercè 60 minuts, és que la Carla camina més de pressa. Vol dir que es desplaça a més velocitat.

Nota: La velocitat s’expressa com l’espai recorregut en un temps donat, això en termes d’equacions s’escriu així (velocitat = espai dividit pel temps):

v= e / t

on v és la velocitat, e l’espai i t el temps.

Analitzant el nostre problema, deduïm que les nostres tres variables són:

  • La velocitat de la Carla és més gran que la de la Mercè.

  • Si les dues es troben, és que ambdues han recorregut el mateix espai.

  • Quan es trobin, la Carla haurà trigat 10 minuts menys que la Mercè.

Parem compte que el problema no ens dona cap valor de l’espai que hi ha de casa a l’escola, i que ens demanen “quan” es trobaran… Temps al temps!

És a dir, quan de temps trigaran en trobar-se, no a on, ni com, ni per què…😛

Si ens fixem en l’enunciat veiem que ens donen un patró de temps: 10 minuts.

Anem a pams, i comptem amb els dits si cal…😉

Resolució per deducció, el conte de la vella

Resolem-ho amb el conte de la vella, il·lustrant l’espai recorregut per cadascuna d’elles mentre van a escola en una unitat de temps determinada (el patró):

Per anar a l’escola la Mercè necessita 6 unitats de 10 minuts (6 x 10 = 60).

imatge_01

Per anar a l’escola la Carla necessita 4 unitats de 10 minuts (4 x 10 = 40).imatge_02

Vejam quin espai recorre cadascuna, cada 10 minuts… En els primers 10 minuts la Mercè ha recorregut aquesta distància, la Carla és a casa…imatge_03

En els segons 10 minuts, la Mercè i la Carla han recorregut aquestes distàncies…imatge_04

En els tercers 10 minuts, la Mercè i la Carla han recorregut aquestes distàncies…

imatge_05

És a dir, que la Carla enxampa la Mercè als 30 minuts de que la Mercè hagi sortit de casa… I curiosament, va per una mare en concret, és efectivament a mig camí…😀

Com ho traduïm en una equació?

Es tracta de plantejar la solució del problema amb una equació de primer grau (primer d’eso), amb una única incògnita: o el temps de la Carla; o el temps de la Mercè.

L’espai no el sabem, i de fet, l’únic que ens interessa és que serà el mateix per a les dues, com hem vist abans. Sino fos així no es trobarien… Oooooi?

La velocitat tampoc la sabem, però sí que podem expressar-la en funció d’una d’elles en termes relatius, és a dir quantes vegades l’una és més ràpida que l’altra…

Resolem-ho en funció del temps que trigarà la Mercè… Per tant, la velocitat de la Carla, l’expresarem en funció de la velocitat de la Mercè.

1. Deduïm la velocitat relativa de la Carla, respecte a la de la Mercè.

Velocitat de la Carla = espai fins l’escola / 40 minuts

Vc = e/40

Velocitat de la Mercè = espai fins l’escola / 60 minuts

Vm = e/60

L’espai que hi ha de casa a l’escola e, no el sabem, però és el mateix per a les dues…

Per aïllar-lo, passem el que divideix a la dreta de l’equació, multiplicant a l’esquerra:

40 Vc = e

60 Vm = e

Igualem les dues equacions, car l’espai és el mateix:

40 Vc = 60 Vm

Aïllem la velocitat de la Carla passant el 40 que multiplica a l’esquerra, dividint a la dreta:

Vc = 60 / 40 Vm

Dividim per 10 a dalt i abaix a la dreta de l’equació (treiem un zero, o els que hagi…), d’això en diem simplificar:

Vc = 6/4 Vm

I encara, podem dividir per 2 a dalt i abaix (simplificar) a la dreta de l’equació:

Vc = 3/2 Vm

Nota: Tenim doncs, que la velocitat de la Carla és una vegada i mitja (3/2) més gran que la de la Mercè. Repasseu les fraccions, és un consell d’amic.

2. Expressem l’espai recorregut per les dues (que és el mateix) en una sola equació, a l’esquerra la Carla i a la dreta la Mercè, recordant que l’espai és la velocitat multiplicada pel temps (el que divideix, passa multiplicant a l’altre cantó de l’equació):

e= v t

L’espai que haurà recorregut la Carla (trigarà 10 minuts menys ), en funció de la Mercè serà:

e = 3/2 Vm (Tm - 10)

L’espai que haurà recorregut la Mercè:

e = Vm Tm

Nota: Vm és la velocitat de la Mercè i Tm és el temps que triga la Mercè.

Igualem els espais… i ja tenim la nostra equació de primer grau… encara que no ho sembli😉

3/2 Vm (Tm - 10) = Vm Tm

Resolem l’equació de primer grau…

Aïllem el Tm de la dreta, el Vm que multiplica passa a l’esquerra dividint…

3/2 Vm (Tm - 10) / Vm = Tm

Si dividim i multipliquemem per Vm, ho podem eliminar… (si multipliquem per 2 i dividim per 2 una quantitat, la que sigui, obtenim la mateixa quantitat, si ho fem pel logaritme neperià de mil dos cent vint-i-set també, això va a missa que diria l’avi que ere de lletres “pures”…):

3/2 (Tm – 10) = Tm

Resolem el parèntesi de l’esquerra, multiplicant a dalt per 3 i dividint abaix per 2 (ho poso entre parèntesi per no fer servir més d’una línia, aneu-vos acostumant…):

(3Tm – 30) / 2 = Tm

Passem el 2 que deivideix a l’esquerra, multiplicant a la dreta:

3Tm – 30 = 2Tm

 

Aïllem tots els Tm a l’esquerra de l’equació: el que suma passa a l’altre cantó restant; i el que resta, passa sumant a l’altre cantó…

3Tm – 2Tm = 30

Finalment tenim que (3Tm–2Tm=Tm), 3 pomes menys 2 pomes = poma, no barregeu “pomes i peres”😉 :

Tm = 30

És a dir, que 30 minuts després de que hagi surtit de casa la Mercè, es troba amb la Carla…

El problema que us plantejo ara, és el següent: quant de temps ha de sortir abans la Mercè per a que ambdues arribin al mateix temps a escola…😉

Tant de bó, us hagi estat útil.

I recordeu que a Catalunya som pioners en continguts educatius penjats a internet, així que cerqueu… que ben segur que en trobareu i de ben útils… i sobretot, comenceu la recerca per xtec.cat

Aquí podeu trobar un document pdf per si us el voleu descarregar.

Recordar-vos que per elaborar tots aquests continguts faig servir programari lliure, en concret Libre Office Versió 3.6.4.3 i que tant de bó el féssiu servir per tal d’aprimar la factura que es paga per programaris ofimàtics que no s’ho valen.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: